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Triangles à périmètre constant

Ressource publiée

Proposé en sixième, cet exercice de lieu de points :

Sur une feuille blanche A4 (format paysage), tracer un segment [AB] de six centimètres.
Le périmètre du triangle ABM est 16cm.
Déterminer quarante positions possibles pour le point M. Quelle figure géométrique semble être l’ensemble des solutions de ce problème ?

 

Il permet

  • d'intégrer par la répétition (40 fois) le tracé d'un triangle au compas.
  • fixer la notion de périmètre.
  • de faire des considérations de symétrie et d'inégalité triangulaire.
  • d'apprendre à organiser un travail méthodique et à le rédiger.

Détails de l'activité en classe :

La préparation de la feuille et le décryptage de l’énoncé s’est fait en classe. Il faut que le segment [AB] soit à peu près centré pour éviter que des solutions sortent de la feuille. Les propositions ont rapidement fusé :

- Un point à 5 cm de A et B. J’ai bien pris le temps de refaire le calcul du périmètre pour valider la proposition et convaincre ceux qui n’étaient pas encore rentrés dans l’exercice que la solution convenait. Nous avons même constaté que cela nous donnait deux solutions. Je leur ai demandé de ne pas tracer les côtés des triangles mais de seulement repasser en rouge les points-solutions.

Ensuite, j’ai demandé à celui qui avait donné la réponse sa démarche.

- Il faut que ça fasse 10.
- Je ne comprends pas. (beaucoup, pourtant, avait parfaitement compris mais le prof, non)
- Eh ben, les deux côtés, ça doit faire 10.
- Quels côtés ? Ca veut dire quoi "faire 10" ?
- Les côtés [AM] et [BM], si on les ajoute, ça doit faire 10cm.
- Pourquoi ?
- Parce qu’avec AB, ça fera 16.
- Eh bien, il faudra écrire tout ça sur une copie à joindre au travail et le plus rigoureusement possible. Vous pouvez faire un tableau pour présenter toutes vos solutions.

A propos des copies : Aucun élève n’a commenté les solutions algébriques qui étaient géométriquement impossibles (AM=9cm et BM=1cm) et tous se sont contentés de les éviter dans leur rédaction. (mais les coups d’effaceur montraient le travail) J’ai quand même fait un petit point là-dessus car nous étions déjà tombés sur ce genre de problèmes dans quelques exercices de tracés de triangles. Ils en sauront plus l’an prochain.

Beaucoup ont répondu que le lieu des points était un cercle, probablement à cause d’un précédent exercice. (certains n’ont pas hésité à falsifier leurs tracés pour avoir ce cercle). Quelques-uns ont vu un "ovale".

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