\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\newtheorem{Def}{Définition :}
\newtheorem{Pro}{Propriété :}
\newtheorem{Th}{Théorème :}
\newtheorem{Dem}{Démonstration :}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{landscape}

\begin{center}
\huge{\textbf{Second degré}}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\setlength{\columnseprule}{0.01cm}
\begin{multicols*}{2}

\section*{Savoir faire}

\begin{itemize}
\item [$\Box$] Identifier un trinôme, l'écrire sous différentes formes : factorisée, développée, canonique
\item [$\Box$] Résoudre une équation du second degré
\item [$\Box$] Résoudre une inéquation du second degré
\item [$\Box$] Donner l'allure de la courbe représentant une fonction du second degré, préciser les variations et extrema de la fonction
\end{itemize}

\section[I]{Trinôme - Discriminant - Forme canonique}

\begin{Def}
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction $P$ définie sur $\R$ par une expression de la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et $a \neq 0$.\\
On dit que $ax^2+bx+c$ est alors un polynôme du second degré ou un trinôme.
\end{Def}

\begin{Def}
Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le réel noté $\Delta$ défini par : $$\Delta=b^2-4ac$$
\end{Def}

\begin{Def}
La forme canonique de $ax^2+bx+c$ est $$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$$
\end{Def}

\section{Équation du second degré}

\noindent On cherche à résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$. On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions que l'on nomme \og racines \fg \, du trinôme.

\noindent Si la résolution n'est pas immédiate, on peut appliquer la méthode suivante :

\noindent On commence par calculer $\Delta=b^2-4ac$

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$ alors $\mathcal{S}=\oslash$
\item[$\bullet$] Si $\Delta=0$ alors $\mathcal{S}=\lbrace x_0 \rbrace$ où $x_0=-\frac{b}{2a}$
\item[$\bullet$] Si $\Delta>0$ alors $\mathcal{S}=\lbrace x_1;x_2 \rbrace$ où $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
\end{itemize}

\section{Signe du trinôme}

\noindent La résolution d'une inéquation du second degré est liée à l'étude du signe du trinôme.

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$ alors pour tout réel $x$, $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|}
   \hline 
   $x$ & $-\infty$ \hspace{2cm} $+\infty$ \\ 
   \hline 
   $\displaystyle{ax^{2}+bx+c}$ & signe de $a$ \\ 
   \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\item[$\bullet$] Si $\Delta=0$ alors pour tout réel $x \neq x_0$, $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{| c | l c c c r |}
   \hline 
   $x$ & $-\infty$ &  & $x_0$ & &$+\infty$ \\ 
   \hline 
   $\displaystyle{ax^{2}+bx+c}$ & & signe de $a$ & $0$ & signe de $a$ &\\ 
   \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}

\item[$\bullet$] Si $\Delta>0$ alors $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, de signe contraire à $a$ entre les racines.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{| c | l c c c c c r |}
   \hline 
   $x$ & $-\infty$ &  & $x_1$ & & $x_2$ & & $+\infty$ \\ 
   \hline 
   $\displaystyle{ax^{2}+bx+c}$ & & signe de $a$ & $0$ & signe de $-a$ & $0$ & signe de $a$ &\\ 
   \hline 
   \end{tabular} 
\end{center}
\ding{42} Attention ! Ici $x_1$ et $x_2$ doivent être classés du plus petit au plus grand.

\end{itemize}

\section{Etude de la fonction}

\noindent La courbe représentative de la fonction $P$ définie par $P(x)=ax^2+bx+c$, ($a \neq 0$) est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si $a>0$ alors $P$ est décroissante sur $]\,-\infty;-\dfrac{b}{2a}]$ et croissante sur $[-\dfrac{b}{2a};+\infty\,[$ et $P$ admet un minimum en $-\dfrac{b}{2a}$.
\item[$\bullet$] Si $a<0$ alors $P$ est croissante sur $]\,-\infty;-\dfrac{b}{2a}]$ et décroissante sur $[-\dfrac{b}{2a};+\infty\,[$ et $P$ admet un maximum en $-\dfrac{b}{2a}$.
\end{itemize}
\noindent Le sommet de la parabole a pour abscisse $\dfrac{-b}{2a}$. La parabole admet pour axe de symétrie la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$.

\end{multicols*}

\section{Tableau de synthèse}

\includegraphics[width=20 cm]{Annexe.eps}

\end{landscape}
\end{document}