%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% ######                                                                  
% #     #  #####   ######    ##    #    #  #####   #    #  #       ###### 
% #     #  #    #  #        #  #   ##  ##  #    #  #    #  #       #      
% ######   #    #  #####   #    #  # ## #  #####   #    #  #       #####  
% #        #####   #       ######  #    #  #    #  #    #  #       #      
% #        #   #   #       #    #  #    #  #    #  #    #  #       #      
% #        #    #  ######  #    #  #    #  #####    ####   ######  ###### 
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                                                                         

\documentclass[10pt,a4paper,portrait,french]{article}
 
%%%%% PACKAGES LANGUE %%%%%
\usepackage{ProfCollege}
\usepackage{babel} % sans option => langue définie dans la classe du document
\usepackage{fp}

%%%%% SPÉCIFICITÉS A.M.C. %%%%%
%\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice} 
%   remarque : avec completmulti => "aucune réponse ne convient" en +
 \usepackage[francais,insidebox,bloc]{automultiplechoice}

%%%%% PACKAGES MISE EN PAGE %%%%%
 \usepackage{wrapfig}  
 \usepackage{fancybox}  % pour \doublebox \shadowbox  \ovalbox \Ovalbox
 \usepackage{setspace}
% Pour la gestion des fontes.
\usepackage{unicode-math}
% Par exemple, une fonte sans serif pour les briques Scratch.
\newfontfamily\myfontScratch[]{FreeSans}

%%%%% PACKAGES FIGURES %%%%%
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
%   POUR PSTRICKS d'où compilation sans PDFLateX mais : dvi, dvi2ps, ps2PDF...
%   MAIS ON PRÉFÉRERA UTILISER TIKZ...
\usetikzlibrary{babel,arrows,calc,fit,patterns,plotmarks,shapes.geometric,shapes.misc,shapes.symbols,shapes.arrows,shapes.callouts, shapes.multipart, shapes.gates.logic.US,shapes.gates.logic.IEC, er, automata,backgrounds,chains,topaths,trees,petri,mindmap,matrix, calendar, folding,fadings,through,positioning,scopes,decorations.fractals,decorations.shapes,decorations.text,decorations.pathmorphing,decorations.pathreplacing,decorations.footprints,decorations.markings,shadows}
\usepackage{graphicx} % pour inclure une image avec une échelle

%%%%% PACKAGES MATHS %%%%%
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{eurosym}
 \usepackage{frcursive}
 \newcommand{\Vcurs}{\begin{cursive}V\end{cursive}}
 \usepackage[normalem]{ulem} % pour souligner

%%%%% AUTRES %%%%%
%\renewcommand{\AMCStudentNumber}{100}

%%%%% Librairies utilisées par Mathgraphe32 %%%% 
%\usetikzlibrary{patterns}
\usepackage{fix-cm}
\usepackage{textcomp}

%%%%% PERSONNALISATION %%%%%
\renewcommand{\multiSymbole}{$\begin{smallmatrix}\circ\bullet\bullet \\ 
                 \circ\bullet\circ \end{smallmatrix}$\noindent} % par défaut $\clubsuit$
%\renewcommand{\multiSymbole}{\textbf{(! Évent. plusieurs réponses !)}\noindent} % si on veut être plus explicite ; par défaut $\clubsuit$

\renewcommand{\AMCbeginQuestion}[2]{\noindent{\colorbox{gray!20}{\bf#1}}#2}

%\renewcommand{\AMCIntervalFormat}[2]{\texttt{[}#1\,;\,#2\texttt{[}} 
                                               % Crochets plus nets, virgule...
%\AMCboxDimensions{size=1.7ex,down=.2ex} %% taille des cases à cocher diminuée

\newcommand{\collerVertic}{\vspace{-3mm}} % évite un trop grand espace vertical
\newcommand{\Prio}{\fbox{\textbf{PRIORITAIRE}} \noindent} % 
\newcommand{\enligne}{\def\AMCanswer##1##2{\hfill ##1 ##2}} % pour avoir les réponses à la suite de la question, sur la même ligne, alignées à droite. S'utilise avec  \begin{reponsesperso}   \bonne{}  \end{reponsesperso}
\newcommand{\Degre}{\ensuremath{^\circ}}

% pour écrire les codes Sacoche entourés (dans les tableaux de correction)
\newcommand{\textcircledd}[1]{\tikz[baseline=(letter.base)]\node[draw,circle,inner sep=1pt] (letter) {#1};}
\newcommand{\VV}{\textcircledd{VV}\:}
\newcommand{\V}{\textcircledd{V}\:}
\newcommand{\R}{\textcircledd{R}\:}
\newcommand{\RR}{\textcircledd{RR}\:}
\newcommand{\NE}{\textcircledd{NE}\:}
\newcommand{\NF}{\textcircledd{NF}\:}

%%pour afficher ailleurs que dans une question
\makeatletter
\newcommand{\AffichageSiCorrige}[1]{\ifAMC@correc #1\fi}
\makeatother

%%%%% TAILLES %%%%%
 \usepackage{geometry} 
 \geometry{headsep=0.3cm, left=1.5cm,right=1.5cm,top=2.4cm,bottom=1.5cm}
 \DecimalMathComma 
 %\setlength{\columnseprule}{0.25pt} % ligne de séparation des colonnes
 \setlength{\columnsep}{50pt} % séparation entre les colonnes
 
 \AMCcodeHspace=.4em % réduction de la taille des cases pour le code élève
 \AMCcodeVspace=.4em 
% \AMCcodeBoxSep=.1em
 
 \def\AMCotextReserved{\emph{Ne rien cocher, réservé au prof !}}
 
%%%%%% Définition des barèmes 
\baremeDefautS{
	e=0.0001,	% incohérence (plusieurs réponses données à 0,0001 pour définir des manquements au respect de consignes)
	b=1,		% bonne réponse 1
	m=-0.01,	% mauvaise réponse 0,01 pour différencier de la 
	v=0} 		% non réponse qui reste à 0

\baremeDefautM{formula=((NBC-NMC)/NB)*((NBC-NMC)/NB>0)} % nombre de bonnes réponses cochées minorées des mauvaises réponses cochées, ramenées à 1, et ramenée à 0 si résultat négatif.

%%%%%%%%% Paramètres pour réponses à construire 
\AMCinterIrep=0pt \AMCinterBrep=.5ex \AMCinterIquest=0pt \AMCinterBquest=3ex \AMCpostOquest=7mm \setlength{\AMChorizAnswerSep}{3em plus 4em} \setlength{\AMChorizBoxSep}{1em}
 
\setdefaultgroupmode{fixed} 
 
\begin{document}
\AMCrandomseed{458101}   % On choisit les "graines" pour initialiser le "hasard"
\FPseed=12345678
% attention tout de même à ne mettre à jour que les corrections et pas les sujets en cas de modifications postérieures à l'édition des sujets 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                                                                         
%
% #####                                         #####                                                            
% #     #  #####            #####   ######      #     #  #    #  ######   ####   #####  #   ####   #    #   ####  
% #        #    #           #    #  #           #     #  #    #  #       #         #    #  #    #  ##   #  #      
% #  ####  #    #           #    #  #####       #     #  #    #  #####    ####     #    #  #    #  # #  #   ####  
% #     #  #####   ###      #    #  #           #   # #  #    #  #            #    #    #  #    #  #  # #       # 
% #     #  #   #   ###      #    #  #           #    #   #    #  #       #    #    #    #  #    #  #   ##  #    # 
%  #####   #    #  ###      #####   ######       #### #   ####   ######   ####     #    #   ####   #    #   ####  
%
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%  ######                                                                
%  #     #  #   #  #####  #    #    ##     ####    ####   #####   ###### 
%  #     #   # #     #    #    #   #  #   #    #  #    #  #    #  #      
%  ######     #      #    ######  #    #  #       #    #  #    #  #####  
%  #          #      #    #    #  ######  #  ###  #    #  #####   #      
%  #          #      #    #    #  #    #  #    #  #    #  #   #   #      
%  #          #      #    #    #  #    #   ####    ####   #    #  ###### 
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vocabulaire du triangle rectangle (restituer)
\element{Pythagore}{
  \begin{question}{vocabulaire} 
	Dans le triangle MNP rectangle en N, 
   \begin{reponses}
      \mauvaise{[MP] est l'hypoténuse et [MN] un côté quelconque}
      \mauvaise{[MN] est l'hypoténuse et [MP] un côté quelconque}
      \bonne{[MP] est l'hypoténuse et [MN] un côté adjacent}
      \mauvaise{[MN] est l'hypoténuse et [PN] un côté adjacent}
      \mauvaise{[PN] est l'hypoténuse et [MN] un côté adjacent}
   \end{reponses}
  \end{question}
}




%%%%%%%%%%%%%%%%%% Quelle propriété utiliser ?
\element{Pythagore}{
  \begin{question}{P.quel1} 
	On considère un triangle KML tel que LM = 5cm, KL = 8cm et $\widehat{KLM}=90$°. Cocher la bonne méthode :
   \begin{reponses}
      \bonne{On peut utiliser le théorème de Pythagore}
      \mauvaise{On peut utiliser la contraposée du théorème de Pythagore}
      \mauvaise{On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore}
      \mauvaise{Aucune des autres réponses}
    \end{reponses}
  \end{question}
}

\element{Pythagore}{
  \begin{question}{P.quel2} 
	On considère un triangle KML tel que KM = 5cm, KL = 12cm et ML = 13cm. Cocher la bonne méthode :
   \begin{reponses}
      \mauvaise{On peut utiliser le théorème de Pythagore}
      \mauvaise{On peut utiliser la contraposée du théorème de Pythagore}
      \bonne{On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore}
      \mauvaise{Aucune des autres réponses}
    \end{reponses}
  \end{question}
}

\element{pythagore}{
  \begin{question}{P.quel3} 
	On considère un triangle GHK tel que GH = 10~cm, HK = 24~cm et GK = 25~cm. Cocher la bonne méthode :
   \begin{reponses}
      \mauvaise{On peut utiliser le théorème de Pythagore}
      \bonne{On peut utiliser la contraposée du théorème de Pythagore}
      \mauvaise{On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore}\bareme{0.5}
      \mauvaise{Aucune des autres réponses}
    \end{reponses}
  \end{question}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% écrire la relation (utiliser les prop du tri rect)
\element{pythagore}{
  \begin{questionmult}{P.rel1} 
	Dans le triangle ABC d'hypoténuse [AC], 
   \begin{multicols}{3}  
   \begin{reponses}
      \bonne{$AC^2=AB^2+BC^2$}
      \bonne{$AB^2=AC^2-BC^2$}
	  \bonne{$BC^2=AC^2-AB^2$}	
      \mauvaise{$AB^2=AC^2+BC^2$}
      \mauvaise{$BC^2=AC^2+AB^2$}
      \mauvaise{$AB^2=BC^2-AC^2$}
   \end{reponses}
   \end{multicols}
  \end{questionmult}
}

\element{Pythagore}{
  \begin{questionmult}{Db-relation1} 
	Dans le triangle FOL rectangle en L, 
   \begin{multicols}{3}  
   \begin{reponses}
      \bonne{$FO²=FL²+OL²$}
      \mauvaise{$FL²=FO²+OL²$}
      \mauvaise{$OL²=FL²+FO²$}
      \bonne{$FL²=FO²-OL²$}
      \mauvaise{$FL²=OL²-FO²$}
   \end{reponses}
   \end{multicols}
  \end{questionmult}
}

\element{pythagore}{
  \begin{questionmult}{P.rel2} 
	Dans le triangle TUV rectangle en V, 
   \begin{multicols}{3}  
   \begin{reponses}
      \bonne{$TU^2=TV^2+UV^2$}
      \mauvaise{$TV^2=TU^2+UV^2$}
      \mauvaise{$UV^2=TU^2+TV^2$}
      \bonne{$UV^2=TU^2-TV^2$}
      \bonne{$TV^2=TU^2-UV^2$}
      \mauvaise{$UV^2=TV^2-TU^2$}
   \end{reponses}
   \end{multicols}
  \end{questionmult}
}

\element{Pythagore}{
	\fbox{\parbox[t][25.5cm][t]{0.95\linewidth}{ Considérons la figure suivante, réalisée à main levée, où A, C et D sont alignés.
	
	\includegraphics[scale=0.1]{double_pythagore.png}
	
	Que faudrait-il savoir de façon certaine pour pouvoir calculer AB ? (on demande une information, pas de calculs ou de démonstration à ce stade).
	\vspace*{1.5cm}	

	Le triangle CBD est-il rectangle ? Justifiez soigneusement votre réponse.
	
	\vspace*{6cm}
	
	En déduire AB en justifiant soigneusement. 

	\vspace*{6cm}
	
	\begin{question}{P.Decomp}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Décomposer un problème en sous-problèmes}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.adapt}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Choisir un cadre adapté pour traiter un problème}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.prop}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Utiliser les propriétés}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.ctrl}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.=}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Passer du langage courant au langage mathématique}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.expl}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Expliquer à l'écrit}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\vfill}}
}

\element{Pythagore}{

	\textbf{EXERCICES DE RÉDACTION :} 


	Le triangle RTS est rectangle en S. On sait que RS=7 et ST=5. Calculer RT en justifiant soigneusement.
	
	\vspace{8cm}

	
	Le triangle ABC est tel que AB=14, AC=5 et BC=13. Le triangle est-il rectangle ? Vous détaillerez le raisonnement utilisé.

	\vspace{8cm}
	
	\begin{question}{P.adapt}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Choisir un cadre adapté pour traiter un problème}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.prop}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Utiliser les propriétés}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.repnbre}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.Unit}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Exprimer dans une unité adaptée}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

	\begin{question}{P.expl}
	\collerVertic
	\AMCOpen{lineup=true, lineuptext={Expliquer à l'écrit}, dots=false}{\mauvaise[RR]{RR}\bareme{1}\mauvaise[R]{R}\bareme{2}\mauvaise[V]{V}\bareme{3}\bonne[VV]{VV}\bareme{4}}
	\collerVertic
	\end{question}

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                                                                         
%
% ######                                                         
% #     #   ####    ####   #    #  #    #  ######  #    #  ##### 
% #     #  #    #  #    #  #    #  ##  ##  #       ##   #    #   
% #     #  #    #  #       #    #  # ## #  #####   # #  #    #   
% #     #  #    #  #       #    #  #    #  #       #  # #    #   
% #     #  #    #  #    #  #    #  #    #  #       #   ##    #   
% ######    ####    ####    ####   #    #  ######  #    #    #   
%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exemplaire{1}{   % <========================  /!\ PENSER À ADAPTER /!\  ==  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% pour alléger la couleur des lettres dans les cases et les réduire
\def\AMCchoiceLabelFormat##1{\textcolor{black!70}{{\tiny ##1}}}  
% pour revenir dans le cas normal à une case à cocher blanche
\def\AMCchoiceLabel##1{}


REMPLIR avec un stylo NOIR la ou les cases pour chaque question. Si vous devez modifier un choix, NE PAS chercher à redessiner la case cochée par erreur, mettez simplement un coup de "blanc" dessus.
	
Les questions qui ne commencent PAS par le symbole \multiSymbole \ n'ont qu'une SEULE case correcte.
Les questions qui commencent par le symbole \multiSymbole \ PEUVENT comporter plusieurs cases correctes (mais ce n'est pas obligatoire).
	
\textbf{Attention, la plupart des questions nécessitent des calculs qui sont à faire au brouillon. Il est fortement déconseillé de répondre au hasard !}
		
%%%%% QUESTIONS MÉLANGÉES %%%%% 
	
\colorbox{gray!20}{\textbf{PARTIE A : Pythagore  \hspace{11cm} (20 min)}}
	
\restituegroupe{Pythagore}	

\AffichageSiCorrige{
	\newpage
	\subsection*{Exercice avec figure~:} 
		Pour calculer la longueur AB, comme on connaît déjà les deux autres longueurs du triangle ABC, il suffirait de savoir que la triangle est rectangle. On pourrait alors appliquer le théorème de Pythagore.

		\subsubsection*{Le triangle CBD est-il rectangle ?}

		On connaît les longueurs de tous les côtés de ABC. On constate que BD est la plus longue, donc si le triangle est rectangle, BD sera obligatoirement l'hypoténuse.
		Comparons alors :
		\begin{itemize}
			\item $BD^2 = 17^2=289$ d'une part
			\item et $BC^2+CD^2=8^2+15^2=64+225=289$ d'autre part.
		\end{itemize}

		On constate que $BD^2=BC^2+CD^2$ donc, d'après la \textbf{réciproque} du théorème de Pythagore, CBD est un triangle rectangle en C.

		\subsubsection*{Calcul de AB.}

		Comme on vient de démontrer que $\widehat{BCD}$ est droit, et que A, C et D sont alignés, on en déduit que $\widehat{ACB}$ est également un angle droit, donc ACB est un triangle rectangle en C.

		On peut donc appliquer le \textbf{théorème} de Pythagore :

		$AB^2=AC^2+BC^2 \text{ donc } AB^2=5^2+8^2=25+64=89$

		donc $AB=\sqrt{89} \text{ ou } -\sqrt{89}$ or comme AB est une longueur, AB est positive donc finalement $AB=\sqrt{89}$ (valeur exacte).

		La valeur approchée n'était pas demandée, mais si vous vouliez la proposer, il fallait le faire APRÈS avoir donné la valeur exacte et DONNER LA PRÉCISION de votre approximation, par exemple ainsi : AB = 9,4 à 0,1 près par défaut.

	\subsection*{Exercice sans figure~:} 
		\subsubsection*{Première situation}
		Le triangle RTS est rectangle en S donc on peut appliquer le théorème de Pythagore qui affirme que $RT²=RS²+ST²$ 

		soit $RT²=7²+5²=7\times7+5\times5=49+25=74$ donc $RT=\sqrt{74}$ ou $RT=-\sqrt{74}$ 
		
		or RT est une longueur donc RT est positif donc $RT=\sqrt{74}$ (valeur exacte) soit environ 8,6 cm à 0.1 cm près (valeur approchée). 

		\subsubsection*{Deuxième situation}

		Le plus grand côté de ABC est AB=14 donc c'est la seule hypoténuse possible. Nous allons donc comparer AB² et AC²+BC²~:
		
		\begin{multicols}{2}
			AB²=14²=196
			AC²+BC²=5²+13²=25+169=194
		\end{multicols} 
		
		donc AB²≠AC²+BC², d'après la contraposée du théorème de Pythagore, ABC n'est donc pas un triangle rectangle. 

}

}% Fin du bloc \exemplaire

\end{document}